Números naturales, números enteros y la pareja de Cristiano Ronaldo

Dudas. La primera no te asalta cuando te preguntan si quieres colaborar en el blog de un proyecto de divulgación tan interesante como Institweet -tardé poco en acceder-, sino cuando te enfrentas al teclado para comenzar lo que debería acabar convirtiéndose en tu primera entrada. Lidiando con esa duda estaba cuando me ha inspirado la clásica redundancia “empezar por el principio”. Pues bien, en mi caso el principio en esto de las matemáticas fue tropezar con la siguiente cuestión, aparentemente sencilla pero que, como casi todo lo sencillo, lo es solo aparentemente:

¿Qué hay más, números naturales o números enteros?

Lee tranquilamente la pregunta, las veces que haga falta hasta comprenderla, y piénsalo un poco antes de contestar…

¿Ya? Apuesto a que tu respuesta es algo tipo: “como todos los números naturales son enteros y aparte tenemos, por ejemplo, el (-1), hay más números enteros”. Pues mucho me temo que si has razonado de forma parecida estás equivocado, y es que, aunque pueda parecer sorprendente, existen tantos números naturales como enteros. Ya decíamos que en absoluto se trata de una cuestión sencilla… Volvamos a la clásica redundancia y empecemos por el principio, y el principio, en matemáticas, casi siempre es una proposición:

“Dos conjuntos tienen el mismo número de elementos si y solo si existe entre ambos una correspondencia biunívoca”

Es decir, debemos ser capaces de construir una biyección entre los conjuntos que estemos comparando. ¿Correspondencias entre conjuntos? ¿Aplicaciones inyectivas y sobreyectivas? Para comprender todo esto, cambiemos a una pregunta parecida, solo que para resolverla deberíamos consultar el Marca, y no libros de matemáticas:

¿Qué hay más, titulares del Real Madrid de baloncesto o titulares del Real Madrid de fútbol?

RealMadrid plantilla números naturales

RealMadrid plantilla números enteros

Aquí, obviamente, no dudarás: como hay 5 titulares en un equipo de baloncesto y 11 en uno de fútbol, hay más elementos en el segundo conjunto. Muy bien pero ¿y si no conocieras el número de titulares que hay en cada equipo? (en términos matemáticos, ¿y si no conocierais el cardinal de cada conjunto?). En ese caso, seguramente tu intuición te recomendase comenzar a “emparejar” titular con titular: el portero con el base, el lateral derecho con el escolta, así sucesivamente hasta confeccionar una lista parecida a esta:

RMB RMF
S. Llull Casillas
T. Darden Carvajal
R. Fernández S. Ramos
F. Reyes Varane
I. Bourousis F. Coentrao
Khedira
Modric
Di María
Bale
Benzema
C. Ronaldo

Sin darnos cuenta hemos definido una aplicación entre los conjuntos RMB y RMF. Además, no hay jugadores de baloncesto que compartan pareja, luego la aplicación que hemos construido es inyectiva, pero, claramente, existen jugadores en RMF, por ejemplo Cristiano Ronaldo, que no la tienen, es decir, la aplicación no es sobreyectiva. De hecho, no es posible definir ninguna biyección entre RMB y RMF, y el porqué de esta imposibilidad seguro que no se te ha escapado, resulta que en RMF hay más elementos que en RMB. Continuemos buscando ejemplos entre el Santiago Bernabéu y el Palacio de Deporte de Goya e intentemos responder a: ¿Qué hay más, porteros en la plantilla de fútbol o bases en la de baloncesto? Siguiendo el proceso anterior, emparejamos porteros y bases de la siguiente manera:

PRMF BRMB
Casillas S. Llull
D. López S. Rodríguez

Resulta que ahora sí que tenemos una aplicación inyectiva (no hay porteros con la misma pareja) y sobreyectiva (no hay bases sin pareja), así que hemos encontrado una biyección entre PRMF y BRMB. Abre la ventana y grita a los cuatro vientos y sin temor a equivocarte: “¡Existen tantos porteros en el Real Madrid de fútbol como bases en el de baloncesto!”. No solo lo sabes, sino que además puedes demostrarlo matemáticamente, que no es poco.

Ahora ya estamos preparados para volver a la pregunta inicial. Simplemente se trata de encontrar una aplicación biyectiva entre números naturales y enteros. Así deduciremos que cada número en N tiene una y solo una pareja en Z y viceversa y nos convenceremos de que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Pues bien, lo cierto es que hay muchísimas biyecciones (infinitas, de hecho), tal vez la más simple sea:

N Z
0 0
1 1
2 -1
3 2
4 -2
5 3
n (-1)n-1 │ (n+1)/2│

A estas alturas, seguro que no te cuesta demostrar que la aplicación anterior es biyectiva: no existen dos números naturales con la misma imagen, luego es inyectiva, y no existe ningún número entero que no tenga imagen inversa, así que también es sobreyectiva.

Y hasta aquí la primera entrada. Este final, como todos los finales, debería ser un principio, multitud de preguntas te asaltarán ahora: ¿qué hay más, número naturales impares o números enteros? ¿Hay tantos números racionales como número reales? No va a ser fácil encontrar números irracionales en las alineaciones del Real Madrid pero, aún así, ¿os atrevéis a intentar resolver alguna?

Deja un comentario